●方程有悠久的歷史，它隨著實(shí)踐需要而產(chǎn)生，并且具有極其廣泛的應(yīng)用，從數(shù)學(xué)科學(xué)本身看，方程是代數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，是學(xué)生用算術(shù)思想飛躍到用代數(shù)思想分析數(shù)量關(guān)系的重要載體。當(dāng)我們張開(kāi)雙臂熱情擁抱它時(shí)，不妨“未雨綢繆”，讓孩子在豐富的體驗(yàn)中感悟方程本質(zhì)，在解決問(wèn)題中愿列方程，會(huì)列方程，善解方程，切實(shí)提高解決問(wèn)題能力，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
體驗(yàn)中感悟本質(zhì) 溝通中實(shí)現(xiàn)飛躍
——關(guān)于方程教學(xué)的實(shí)踐與思考
陳金飛
方程作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，是學(xué)生用算術(shù)思想飛躍到用代數(shù)思想分析數(shù)量關(guān)系的重要載體。它對(duì)豐富學(xué)生解決問(wèn)題的策略，提高解決問(wèn)題的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著非常重要的意義。但在教學(xué)過(guò)程中我們發(fā)現(xiàn)方程教學(xué)難度較大，效果不甚理想。主要體現(xiàn)在三個(gè)方面：一是學(xué)生不愿用方程解決問(wèn)題；二是學(xué)生抓不住等量關(guān)系列方程；三是學(xué)生面對(duì)稍復(fù)雜方程無(wú)所適從。針對(duì)這一現(xiàn)象我校數(shù)學(xué)組作了專(zhuān)題探究，通過(guò)深入的實(shí)踐，有針對(duì)性地優(yōu)化方程的教法、學(xué)法，取得了良好的教學(xué)效果。
一、加強(qiáng)體驗(yàn)，凸顯優(yōu)勢(shì)愿列方程
算式表示用算術(shù)方法進(jìn)行計(jì)算的程序，列算式依據(jù)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，算式中只能含已知數(shù)而不能含未知數(shù)。列方程也依據(jù)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系（特別是相等關(guān)系），但它打破了列算式時(shí)只能用已知數(shù)的限制，可以根據(jù)需要含有相關(guān)的已知數(shù)和未知數(shù)，正因如此，一般地說(shuō)，列方程要比列算式考慮起來(lái)更直接、更自然，因而有更多優(yōu)越性。但由于小學(xué)教材提供的例子都是簡(jiǎn)易方程，數(shù)量關(guān)系比較直觀，因此學(xué)生對(duì)方程法解決問(wèn)題的優(yōu)越性缺乏深刻體驗(yàn)，加之學(xué)生初步接觸方程，還沒(méi)有形成用方程法來(lái)解決問(wèn)題的習(xí)慣，因此，學(xué)生忠實(shí)于算術(shù)法解題也就情有可原。如果我們讓方程與解決實(shí)際問(wèn)題密切結(jié)合，讓學(xué)生感受到用方程解決問(wèn)題，可以使數(shù)學(xué)思維變簡(jiǎn)潔，那學(xué)生就會(huì)愿意用方程解決問(wèn)題。為了幫助學(xué)生感受方程法在解決某些類(lèi)型問(wèn)題時(shí)在思維上的優(yōu)越性，應(yīng)在教學(xué)中組織學(xué)生經(jīng)歷多角度體驗(yàn)。
1.對(duì)比體驗(yàn)。
教師有意識(shí)通過(guò)對(duì)比活動(dòng)讓學(xué)生放大體驗(yàn)，從而獲得鮮明而準(zhǔn)確的體驗(yàn)。
例如：“西安大雁塔高64米，比小雁塔高度的2倍少22米。小雁塔高多少米？”
師：用算術(shù)法或方程法列式解答，并說(shuō)說(shuō)列式的想法。
生1：我是用算術(shù)法解答，用64-22=42（米），求出小雁塔高度的2倍，再用42÷2=21（米），求出小雁塔高度。
師：生1的想法正確嗎？
生2：生1的想法是錯(cuò)誤的，他以為題中出現(xiàn)“少”字，就用減法計(jì)算。其實(shí)這道題中要求的問(wèn)題：“小雁塔高多少米？”是1倍數(shù)，大雁塔比2倍數(shù)少22米，反過(guò)來(lái)理解：小雁塔高度的2倍比大雁塔高度多22米，因此用64+22=86（米），求出小雁塔高度的2倍，再用86÷2=43（米），才能求出小雁塔高度。
生3：我是用方程解的，設(shè)小雁塔高x米，根據(jù)“小雁塔高度的2倍-22=大雁塔高度”，列出方程2x-22=64，解得x=43，即小雁塔高43米。
師：我們回顧一下解決問(wèn)題的過(guò)程，比較兩種解法，有什么啟發(fā)？
生4：這道題要求的問(wèn)題是1倍數(shù)，用算術(shù)法解答需要逆向思考，而用方程解只要順著題意列出方程，顯得較容易，正確率高。
2.變式體驗(yàn)。
教師引領(lǐng)學(xué)生通過(guò)建立不同的等量關(guān)系式，列出不同的方程式，幫助學(xué)生多角度地理解題意，不斷積累現(xiàn)實(shí)問(wèn)題數(shù)學(xué)化的經(jīng)驗(yàn)，從而提高方程法解題的能力。
例如：“師徒兩人同時(shí)裝配計(jì)算機(jī)，師傅每天裝配31臺(tái)，徒弟每天裝配22臺(tái)。經(jīng)過(guò)多少天師傅比徒弟多裝配72臺(tái)？”
師：找出題中的等量關(guān)系式，根據(jù)等量關(guān)系式列出方程。
生1：我是根據(jù)“師傅裝配的總數(shù)－徒弟裝配的總數(shù)=72”，列出方程“31x－22x=72”。
生2：我是根據(jù)“徒弟裝配的總數(shù)＋72=師傅裝配的總數(shù)”，列出方程“22x＋72=31x”。
生3：我是根據(jù)“師傅裝配的總數(shù)－72=徒弟裝配的總數(shù)”，列出方程“31x－72=22x”。
師：比較三種解法，你有什么發(fā)現(xiàn)？
生4：等量關(guān)系式不同，列出的方程也不同。
生5：雖然方程不同，但最后解得的結(jié)果都是相同的。
師：通過(guò)比較，大家積累了一些解方程的經(jīng)驗(yàn)，今后我們用方程解決問(wèn)題時(shí)，可以多角度思考問(wèn)題，提升我們的思維水平。
3.策略體驗(yàn)。
初次接觸方程，學(xué)生往往機(jī)械地抓住問(wèn)題直接設(shè)元，致使面對(duì)列出的方程手足無(wú)措。通過(guò)直接設(shè)元與間接設(shè)元的比較，讓學(xué)生獲得解方程難易不同的程度體驗(yàn)，提高解決問(wèn)題策略的靈活性。
例如：盒子里裝有同樣數(shù)量的紅球和白球。每次取出6個(gè)紅球和4個(gè)白球，取了若干次以后，紅球正好取完，白球還有10個(gè)。盒子里原來(lái)有紅球多少個(gè)？
師：找出題中的等量關(guān)系式，根據(jù)等量關(guān)系式列出方程。
生1：我是設(shè)紅球有x個(gè)，根據(jù)“取的次數(shù)相同”，列出方程“x÷6=(x－10)÷4”， 但我不會(huì)解這個(gè)方程。
生2：我是設(shè)取了x次，根據(jù)“紅球和白球數(shù)量相同”，列出方程“6x=4x+10”。解得x=5，再用6×5=30（個(gè)），求出紅球的個(gè)數(shù)。
師：比較兩位學(xué)生的不同解法，你有什么發(fā)現(xiàn)？
生3：有時(shí)我們直接設(shè)要求的問(wèn)題為x，解方程的難度較大，而如果換個(gè)角度設(shè)題中未知的份數(shù)或每份數(shù)為x，則列出的方程容易解答。
師：那什么時(shí)候可以直接設(shè)要求的問(wèn)題為x？
生4：一般要求的問(wèn)題是份數(shù)或每份數(shù)時(shí)，我們依據(jù)總數(shù)相等列方程，直接設(shè)要求的問(wèn)題為x，解答較容易。而要求總數(shù)時(shí)，根據(jù)份數(shù)或每份數(shù)相等列方程，列出的方程中會(huì)出現(xiàn)除法，解答較困難。
師：看來(lái)通過(guò)比較，大家對(duì)方程已有了更深的體驗(yàn)，在今后解決問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)不同的情況，采用不同的策略。
二、感悟本質(zhì)，找準(zhǔn)等量會(huì)列方程
方程是代數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，正是對(duì)于它的研究推動(dòng)了代數(shù)學(xué)的發(fā)展，從代數(shù)中關(guān)于方程的分類(lèi)看，一元一次方程是最簡(jiǎn)單的代數(shù)方程，也是所有代數(shù)方程的基礎(chǔ)?！胺匠痰囊饬x”的教學(xué)重點(diǎn)是讓學(xué)生理解方程的含義，體會(huì)方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中等量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。在教學(xué)中，我們要讓學(xué)生深刻把握方程顯性特征和隱性特征兩個(gè)方面。
1.認(rèn)識(shí)方程的顯性特征。
教材提供定義：“含有未知數(shù)的等式是方程”，我們不能單從形式化的概念出發(fā)設(shè)計(jì)課堂教學(xué)?？刹捎脙纱畏诸?lèi)的方法，通過(guò)比較幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)方程的外部特征，即含有“未知數(shù)”和“等式”。
教學(xué)片段：《認(rèn)識(shí)方程》將式子“分類(lèi)”，認(rèn)識(shí)“方程”。
師：我們來(lái)看剛才根據(jù)天平圖所寫(xiě)的幾個(gè)式子。
教師在黑板上集中呈現(xiàn)8個(gè)式子的卡片：
40＋50＝90 X＋40＞100
50×2＝100 X＋50＜200
50﹤100 X＋50＝150
100﹥50 2X＝100
師：你能把這8道算式按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)嗎？（提供裝有8道算式的信封）同桌間說(shuō)說(shuō)你的想法，再進(jìn)行分類(lèi)。
交流：黑板上移動(dòng)式子卡片，將式子分類(lèi)。
生1：我是按照是不是等式來(lái)進(jìn)行分類(lèi)的。
學(xué)生對(duì)黑板上的卡片位置作一些調(diào)整，調(diào)整后如下：
50﹤100 50×2＝100
100﹥50 40＋50＝90
X+40﹥100 2X＝100
X＋50＜200 X＋50＝150
生2：我是按照算式中有沒(méi)有未知數(shù)來(lái)分類(lèi)的。學(xué)生所排列的式子作如下的調(diào)整：
40＋50＝90 X＋40＞100
50×2＝100 X＋50＝150
50﹤100 X＋50＜200
100﹥50 2X＝100
生3：我把這8道算式分成了4類(lèi)。
學(xué)生對(duì)黑板上的卡片位置作出調(diào)整，調(diào)整后如下：
是不是等式
50﹤100 50×2＝100
有沒(méi)有 100﹥50 40＋50＝90
未知數(shù) X＋40＞100 X＋50＝150
X＋50＜200 2X＝100
師：大家通過(guò)思考、交流，把8個(gè)式子分成了4類(lèi)。看看每一組式子有什么特點(diǎn)？
學(xué)生一一描述。
師：請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察“X＋50＝150、2X＝100”這一類(lèi)式子，和其他式子相比，它們具備怎樣的特點(diǎn)？
讓學(xué)生感知“含有未知數(shù)”與“等式”是方程意義的兩點(diǎn)最重要的內(nèi)涵，“含有未知數(shù)”也是方程區(qū)別于其他等式的關(guān)鍵特征，理解等式與方程這兩個(gè)概念之間的包含與被包含關(guān)系。即方程都是等式，但等式不一定是方程。
2.認(rèn)識(shí)方程的隱性特征。
所謂隱性特征，即是方程特定的本質(zhì)特征。方程本質(zhì)對(duì)已知數(shù)和未知數(shù)一視同仁，通過(guò)建立起已知數(shù)和未知數(shù)之間的等式關(guān)系，進(jìn)而求得未知數(shù)。實(shí)踐中，我們注意循序漸進(jìn)，分層突破。
（1）滲透字母教學(xué)
在低年級(jí)計(jì)算教學(xué)中適當(dāng)滲透含有字母的題目，讓學(xué)生對(duì)字母有親切感，降低字母抽象性，為學(xué)生接納方程打下基礎(chǔ)。如“2+（ ）=10,2×( )=10等填加數(shù)、乘數(shù)的題目”，不妨以“2+a=10，2×a=10,a=( )的形式出現(xiàn)”。中年級(jí)加強(qiáng)用整式表示常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系教學(xué)。如：路程=速度×?xí)r間。常見(jiàn)的數(shù)字問(wèn)題：連續(xù)自然數(shù)；連續(xù)偶數(shù)；連續(xù)奇數(shù)；十位上數(shù)字為a，個(gè)位上數(shù)字為b，則這個(gè)數(shù)為10a+b等。
（2）加強(qiáng)等量關(guān)系式教學(xué)
通過(guò)多元表征來(lái)突破算式思維的限制，發(fā)展學(xué)生關(guān)系式思維。如借助實(shí)物操作或表象操作，通過(guò)抓兩者之間關(guān)系的關(guān)鍵句，用直觀圖、線段圖展示出兩者關(guān)系，架起直觀與抽象的符號(hào)表征之間的橋梁進(jìn)行關(guān)系式表征，逐步抽象成符號(hào)表征。在低年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，加強(qiáng)對(duì)數(shù)量關(guān)系的分析，如每份數(shù)、份數(shù)與總數(shù)三個(gè)量之間的關(guān)系。重視介紹尋找等量關(guān)系行之有效的方法。如“甲數(shù)是乙數(shù)的3倍”、“甲數(shù)比乙數(shù)的3倍多12”這兩句關(guān)鍵句中，首先找“一倍數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)量）”，它往往在“是”的后面、“的幾倍”的前面，抓住了一倍數(shù)也就很容易確立等量關(guān)系式。
（3）滲透等式性質(zhì)
學(xué)生認(rèn)識(shí)方程的最大困難在于受“程序性觀點(diǎn)”（如4+5=9，從左往右運(yùn)算）的影響，始終拘泥于具體運(yùn)算（加、減、乘、除），而不會(huì)從整體關(guān)注，即把方程看成是一個(gè)等號(hào)兩邊相等的整體結(jié)構(gòu)，因此，學(xué)生只有實(shí)現(xiàn)等式“程序性觀點(diǎn)”向“結(jié)構(gòu)性觀點(diǎn)”（4+5=3+6，把等于號(hào)看作天平的指針）的轉(zhuǎn)變，讓思維關(guān)注點(diǎn)集中于方程表示的等量關(guān)系，對(duì)方程的認(rèn)識(shí)才能達(dá)到更高水平。因此在小學(xué)低年級(jí)日常教學(xué)中就加強(qiáng)等式性質(zhì)的滲透，將方程技能的訓(xùn)練貫穿于問(wèn)題解決之中，為今后的方程教學(xué)打下良好的基礎(chǔ)。如一上計(jì)算5+（）=12時(shí)，教師可結(jié)合天平稱(chēng)物體的具體情境（左邊5個(gè)蘋(píng)果，右邊12個(gè)蘋(píng)果，天平的左邊應(yīng)增添幾個(gè)蘋(píng)果，天平才平衡），通過(guò)演示來(lái)幫助學(xué)生學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感悟到左右兩邊同時(shí)減去5個(gè)蘋(píng)果，這時(shí)天平平衡，即括號(hào)里的數(shù)填7。
三、溝通聯(lián)系，多措并舉善解方程
利用等式的性質(zhì)解方程，對(duì)于形如“a－x=b、a÷x=b、ax =bx±c”的方程，按照現(xiàn)行教材編排體系，利用等式的性質(zhì)求解時(shí)，學(xué)生往往感到無(wú)從下手，錯(cuò)誤率較高。為此，我們對(duì)教材進(jìn)行了適當(dāng)重組，在實(shí)踐中取得了較好的教學(xué)效果。
1. 滲透“合并（同類(lèi)項(xiàng)）”和“消去”思想。增加整式的合并（同類(lèi)項(xiàng)）和含有括號(hào)的整式加減運(yùn)算。例如化簡(jiǎn)下列算式：3.2x+2x；18+x-12；3x+3.6+x； ab+ac；ax+a。合并（同類(lèi)項(xiàng)）概念不出現(xiàn)，啟發(fā)學(xué)生從乘法分配律角度去理解。
2.溝通“等式基本性質(zhì)”與“四則關(guān)系” 解方程兩種依據(jù)之間的聯(lián)系。重點(diǎn)突破“a－x=b、 a÷x=b”，根據(jù)等式基本性質(zhì)，可以解得“x= a－b 、x=a÷b ”，推理過(guò)程如下：“a－x=b ，則a－x＋x=b＋x, a=b＋x, b＋x=a， b＋x－b=a－b，x= a－b；a÷x=b ，則a÷x×x=b×x，a=b×x，b×x=a，b×x÷b=a÷b， x=a÷b”。通過(guò)推理讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)：一是不管未知數(shù)出現(xiàn)在哪個(gè)位置上，都能用等式的基本性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。二是結(jié)合等式性質(zhì)理解四則運(yùn)算關(guān)系的方法。剛才推出的結(jié)果其實(shí)就是四則關(guān)系中“減數(shù)=被減數(shù)—差、除數(shù)=被除數(shù)÷商”。實(shí)踐證明，雖然花時(shí)較多，但效果較好，學(xué)生能感受到算術(shù)與代數(shù)之間的緊密聯(lián)系，將代數(shù)方法與算術(shù)方法解方程有機(jī)糅合。
3.滲透“移項(xiàng)”的方法。負(fù)數(shù)的加減乘除雖然在小學(xué)階段暫時(shí)不能與解方程掛上鉤，但是作為初中“移項(xiàng)”的預(yù)備知識(shí)，將數(shù)與符號(hào)看作“一個(gè)整體”的觀念，及早根據(jù)等式的基本性質(zhì)推導(dǎo)，引出移項(xiàng)的方法。如x＋a=b變形為x=b－a相當(dāng)于將“加a”移到右邊變成“減a”，討論總結(jié)出移項(xiàng)的規(guī)則：小往大處靠，即小的移往大的那邊，變?yōu)橄喾吹姆?hào)，原來(lái)的加號(hào)變?yōu)闇p號(hào)（相當(dāng)于正號(hào)變?yōu)樨?fù)號(hào)），減號(hào)變?yōu)榧犹?hào)（相當(dāng)于負(fù)號(hào)變?yōu)榧犹?hào)）。
以上些許思考與調(diào)整，不僅拓寬了學(xué)生的解題思路，而且連通了小學(xué)、初中相同內(nèi)容的不同表述，有效地提高了學(xué)生對(duì)知識(shí)系統(tǒng)的建構(gòu)和把握，降低了學(xué)習(xí)的難度，克服了學(xué)生不愿列方程、不會(huì)列方程、不會(huì)解方程的弊端。
本文發(fā)表于《遼寧教育》，2013.02.71～73.
5000字