《九章算術》的主要內容及其教育價值
陳金飛
《九章算術》是“算經十書”中最重要的一種,是中國古典數學最重要的著作，還是一本綜合性的歷史著作，是當今世界上最簡練有效的應用數學著作，它的出現標志著中國古代數學形成了完整的體系?！毒耪滤阈g》上承先秦數學發(fā)展的源泉，入漢以后又經許多學者的整理、刪補和修訂，大約于東漢初年成書，是幾代人智慧的結晶。
一、《九章算術》的主要內容
《九章算術》收有246個數學問題，全書采用問題集的形式，書中每道題都有問、有答、有術（解題的思想方法、公式、法則）。有的一題一術，有的一題多術，有的多題一術。全書分為九章,主要內容分別是：
第一章，方田，計38題，分為兩類：一類是講平面圖形的面積計算。如“方田”（正方形）、“直田”（矩形）、“圭田”（三角形）、“邪田或箕田”（梯形）等。這充分說明幾何學是直接從測量田畝的實踐中產生的。方田這一章給出了求以上“田”（圖形）面積的方法。例如第25題指出計算三角形的方法?！靶g曰：半廣以乘正從”。這里的“半廣”是指“底長的一半”，“正從”是指“高”。著名數學家劉徽在注文中用“以盈補虛”的方法加以證明，并配有生動形象的圖（如圖1）。另一類是分數運算法則。內容涉及約分、分數的加減法及分數大小比較，與小學數學分數教學內容密切相關。
圖1
第二章，粟米，計46題，講谷物糧食的按比例折換。先規(guī)定好各種糧食之間的交換率，然后用“今有術”來計算?！敖裼行g”就是比例，是從三個已知數求出第四個數的算法。例如，設從比例關系a:b=c:x求x，《九章算術》稱a為“所有率”、b為“所求率”、c為“所有數”、x為“所求數”。今有術：“以所有數乘所求率為實，以所有率為法，實如法而一”，相當于x=。
第三章，衰分，計20題，以“今有術”為基礎，處理各種按比例分配問題。
第四章，少廣，計24題，講面積和體積的開平方與開立方的問題。
第五章，商功，計28題，講立體形面積計算問題和土方人工計算問題。 “商”是“商量”、“量度”的意思?！毒耪滤阈g》中記載的圓柱體積的計算方法是“周自相乘，以高乘之，十二而一”，也就是底面周長的平方乘高，再除以12。這種計算方法與現在的計算公式是一致的。
第六章，均輸，計28題，講根據均輸法納稅和派工的復比例、連比例等比例分配問題，是粟米章、衰分章有關比例理論及應用的發(fā)展。
第七章，盈不足，計20題，通過兩次假設未知量的值，把任何算術問題轉化成盈虧問題來解。以第1題為例：“今有共買物，人出八盈三；人出七不足四。問人數、物價各幾何？答曰：七人，物價五十三。”若每人出8，就比物價多3；若每人出7，就不足4。一般地假設人數為x，每人出錢a1盈b1，出錢a2不足b2。“盈不足術”相當于給出解法： x=（b1+ b2）÷（a2－a1）。
第八章，方程，計18題，講多元一次方程組應用問題解法?！胺健本褪前岩粋€算題用算籌列成方陣的形式?！俺獭笔嵌攘康目偯?，也有計量，考核，程式的意思?！胺匠獭钡拿Q，就來源于此。以“方程”章第1題為例：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？”題中“禾”為黍米，“秉”指捆，“實”指打下來的糧食。設上、中、下禾各一秉打出的糧食分別為x，y，z（斗），則問題就相當于解一個三元一次聯立方程組：
《九章算術》沒有表示未知數的符號，而是用算籌將x，y，z的系數和常數項排列成一個（長）方陣（如圖2，其中已將籌算數碼換作阿拉伯數碼）。這里采取的是自右至左縱向排列?！胺匠绦g”的關鍵算法叫“遍乘直除”，在本例中演算程序如下：用圖2（i）右行上禾（x）的系數3“遍乘”中行各數得6，9，3，102，然后兩次減去右行對應各數，得0，5，1，24。又用3遍乘左行各數得3，6，9，78，減去右行對應各數得0，4，8,39，就得到圖2（ii）。其次以圖2（ii）中行中禾（y）的系數5遍乘左行各數，四次減去中行對應的各數，將左行36和99兩數約分，又得到圖2（iii）。為求上禾（x）和中禾（y），以圖2（iii）左行下禾（z）的系數4遍乘中行各數，減去左行對應的各數，中行所得20和85兩數約分得4和17。再用4遍乘右行各數，減去左行各數后，再兩次減去中行各數，將所得兩數12和111相約得4和37，最后得到圖2（iv）。由此方程計算得：上禾（x）=9，中禾（y）=4，下禾（z）=2。很清楚，《九章算術》方程術的遍乘直除算法，實質上就是我們今天所使用的解線性方程組的消元法，西方文獻中稱之為“高斯消去法”?！毒耪滤阈g》方程術，是世界數學史上的一顆明珠。
圖2
《九章算術》在代數方面的另一項突出貢獻是負數的引進。正負術曰：同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之；其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。“同名”、“異名”即同號、異號；“相益”、“相除”指兩數絕對值相加、相減。劉徽對負數的出現作了很自然地解釋：“今兩算得失相反，要令正負以名之”，意即正負是兩種“得失相反”情況的反映，并主張用紅色算籌表示正數，黑色算籌表示負數，或者用正、斜排列的方式分別表示正、負數。這個記載比國外早了七八百年。
第九章，勾股，計24題，講利用勾股解決問題，與測量和繪圖有直接的聯系?！耙杂呱顝V遠”，主要解決勾股測望問題，涉及勾股術、勾股容圓術、勾股容方術。
二、《九章算術》的教育價值
《九章算術》作為一部世界科學名著，聯系實際，題材多樣，由淺入深，在古代既便于教學又適合自學深造。即使到現在，它在數學教育領域還有著極高的教育價值。
1．有利于拓展學生數學知識面。
《九章算術》算題在取材上豐富多彩，引人入勝。具體涉獵小學八個方面教學內容：圖形的面積、長方體與圓柱體的體積、十進位值制、最大公因數、約分、分數四則運算法則、方程、負數。
書中很多算題只要稍加改變就可以成為比較好的教學題材，如三角形面積計算公式的推導?，F行教材是引導學生運用轉化的思想，將兩個完全相同的三角形拼成一個等底等高的平行四邊形，得出三角形面積計算公式。而適時介紹《九章算術》記載的“半廣以乘正從”計算方法，則對于開拓學生數學視野，拓展學生數學思維，促進學生對公式的理解打開一片新的天地。學生受此啟發(fā)，還可將三角形轉化為“底一半高相等的平行四邊形”和“底相等高一半的平行四邊形”等。
2．有利于更好地掌握數學思想方法。
《九章算術》作為傳世的數學經典著作，雖沒有直接闡述其數學觀，但通過其體系結構不難看出蘊含其中的數學思想方法。即通過觀察—分析—歸納—概括的過程，總結出抽象的結論，對抽象理論輔以一定數量的實際問題來加深理解。比如出入相補原理是貫穿《九章算術》一條基本原理，其中蘊含化歸、數形結合、構造數學模型等思想方法，利于學生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)。同時，對于學生從數學史的角度，找尋目前正在學習的數學知識的本源，亦有一定的借鑒與探源作用。
3．有利于培養(yǎng)正確的情感態(tài)度和價值觀。
《九章算術》對中國數學的影響與歐幾里得《幾何原本》對西方數學的影響是一樣的。古代數學家大都是從《九章算術》開始學習和研究數學的，以至于許多大數學家都曾為它作注釋，最著名的有劉徽、張蒼、耿壽昌、李淳風等人。唐宋兩代都由國家明令規(guī)定為教科書。1084年，由當時的北宋朝廷進行刊刻，因而也是世界上最早的印刷本數學書。
在課堂內外介紹這些算題，不僅可以促進學生對數學知識的理解，激發(fā)他們對數學的興趣，而且能讓他們感受到我國古代在數學上取得了巨大的成就，這對弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，增強民族自豪感、振奮民族精神大有好處。
參考文獻：
1．梁宗巨.世界數學通史【M】.遼寧：遼寧教育出版社，2000.
2．李文林.數學史教程【M】.北京：高等教育出版社，1999.
3．李菊梅.《九章算術》的教育價值[J]．碩士學位論文，2010.
本文發(fā)表于《小學教學》，2014.05下.48～49.
3200字